[知识] 一大一小碰撞模型的奥秘209

背景

在日常生活中，我们可以观察到许多大小不同的物体碰撞的现象。为了理解物体碰撞过程中的力学行为，物理学家提出了各种碰撞模型，其中一大一小碰撞模型是一种经典模型，广泛用于分析物体碰撞过程中能量和动量守恒定律的应用。

模型假设

一大一小碰撞模型假设：
* 两个物体大小相差悬殊，即一个物体质量远大于另一个物体质量。
* 两物体呈一维运动，即沿直线运动。
* 碰撞瞬间，两物体速度发生突变，且碰撞时间极短。
* 碰撞过程中没有能量损失。

能量守恒

根据能量守恒定律，在碰撞过程中，系统总能量保持不变，即碰撞前后系统的机械能相同。对于一大一小碰撞模型，机械能包括动能：
```
E = (1/2)mv^2
```
其中：
* m 为物体质量
* v 为物体速度
对于一大一小碰撞模型，由于小物体质量远小于大物体质量，因此可以忽略小物体动能。因此，碰撞前后系统总机械能等于大物体动能的差值：
```
ΔE = (1/2)Mv1^2 - (1/2)Mv2^2
```
其中：
* M 为大物体质量
* v1 为大物体碰撞前速度
* v2 为大物体碰撞后速度

动量守恒

根据动量守恒定律，在碰撞过程中，系统总动量保持不变，即碰撞前后系统的动量相同。对于一大一小碰撞模型，动量为：
```
p = mv
```
其中：
* m 为物体质量
* v 为物体速度
对于一大一小碰撞模型，碰撞前後系統總動量為：
```
Δp = (M+m)v1 - (Mv2 + mv3)
```
其中：
* m 为小物体质量
* v3 为小物体碰撞后速度

速度变化

根据能量守恒和动量守恒，可以求解出碰撞后两物体的速度变化。对于大物体，速度变化为：
```
Δv2 = - [(1+ε)mv3] / M
```
对于小物体，速度变化为：
```
Δv3 = [(1+ε)v1 + (2ε-1)v2] / (1 + m/M)
```
其中：
* ε 为恢复系数，反映碰撞过程中能量损失程度，取值范围为0~1

特殊情况

* 弹性碰撞：当恢复系数ε=1时，碰撞为弹性碰撞，碰撞过程中没有能量损失。此時，小物体碰撞後速度為：
```
v3 = 2v1 - v2
```
* 非弹性碰撞：当恢复系数ε

2025-02-01

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