初中数学中的隐圆五大模型158

模型一：圆锥曲线中隐圆

在线性方程组$$x^2+y^2+2Ax+2By+C=0$$ $$x^2+y^2+2A'x+2B'y+C'=0$$ $$x^2+y^2+2A''x+2B''y+C''=0$$中，若三者的公共点坐标满足$$(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r^2_1$$ $$ (x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r^2_2$$ $$ (x-a_3)^2+(y-b_3)^2=r^2_3$$则称这三个圆锥曲线中存在一个隐圆，且隐圆圆心坐标为(a,b)，半径为r。

模型二：圆与直线的隐圆

设圆的方程为$$x^2+y^2+2Gx+2Fy+I=0$$直线的方程为$$Ax+By+C=0$$若圆心C(G,-F)到直线的距离为r，则称圆与直线存在一个隐圆，隐圆圆心坐标为(a,b)，半径为r，其中$$a=G-rA/|A^2+B^2|^{1/2}$$ $$b=-F-rB/|A^2+B^2|^{1/2}$$ $$r=\frac{|IA+GB+FC|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

模型三：圆与圆的隐圆

设圆1的方程为$$x^2+y^2+2G_1x+2F_1y+I_1=0$$圆2的方程为$$x^2+y^2+2G_2x+2F_2y+I_2=0$$若圆心C1(G1,-F1)到圆2的距离为r1，圆心C2(G2,-F2)到圆1的距离为r2，则称圆1与圆2存在一个隐圆，隐圆圆心坐标为(a,b)，半径为r，其中$$a=(r_2G_1-r_1G_2)/(r_1-r_2)$$ $$b=(r_2F_1-r_1F_2)/(r_1-r_2)$$ $$r=(|I_2-I_1|/|r_2-r_1|)-(|r_2G_1-r_1G_2|/|r_2-r_1|)^2-(|r_2F_1-r_1F_2|/|r_2-r_1|)^2$$

模型四：两圆与直线的隐圆

设圆1的方程为$$x^2+y^2+2G_1x+2F_1y+I_1=0$$圆2的方程为$$x^2+y^2+2G_2x+2F_2y+I_2=0$$直线的方程为$$Ax+By+C=0$$若直线与圆1、圆2的距离分别为r1、r2、r3，则称圆1、圆2与直线存在一个隐圆，隐圆圆心坐标为(a,b)，半径为r，其中$$a=\frac{Ar_2G_2-Ar_1G_1-Br_2F_2+Br_1F_1+C(r_1+r_2)}{A^2+B^2}$$ $$b=\frac{Br_2G_2-Br_1G_1-Ar_2F_2+Ar_1F_1+C(r_1+r_2)}{A^2+B^2}$$ $$r=(|I_2-I_1|+|r_3(r_1+r_2)|)/(r_1+r_2)-(aG_1+bF_1)^2-(aG_2+bF_2)^2$$

模型五：圆与双曲线的隐圆

设圆的方程为$$x^2+y^2+2Gx+2Fy+I=0$$双曲线的方程为$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$若圆心C(G,-F)到双曲线的距离为r，则称圆与双曲线存在一个隐圆，隐圆圆心坐标为(a,b)，半径为r，其中$$a=G\pm\frac{r}{|A|}a$$ $$b=F\pm\frac{r}{|B|}b$$ $$r=\frac{|IA-GB|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

2025-01-31

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