角平分线六大模型例题119

角平分线，是指将一个角平分为两个相等角的直线。在几何学中，角平分线是一个重要的概念，经常用到各种题目中。本文将介绍角平分线的六大模型，并提供例题供读者练习。

模型一：连接两条相邻边中点到顶点的线段

如果一个角的两个邻边上有两条中线相交，那么它们的交点就是角的平分线。

例题： 已知 ΔABC 中，中线 AD 交中线 BE 于点 O，求证：AO = BO。

证明： 设∠ABC = 2α，∠ACB = 2β，则∠AOB = ∠BOC = α + β。
因为 AD 是 ΔABC 的中线，所以 OD = OA。
因为 BE 是 ΔABC 的中线，所以 OE = OB。
所以 ΔAOD ≌ ΔBOE（SAS），
因此 AO = BO。

模型二：连接顶点到对边中点的线段

如果一个角的顶点到对边的中点有一条线段，那么这条线段就是角的平分线。

例题： 已知 ΔABC 中，点 D 是边 BC 的中点，且 AD ⊥ BC，求证：AD 是 ∠BAC 的平分线。

证明： 设∠BAC = 2α，则 ∠BAD = ∠CAD = α。
因为 AD ⊥ BC，所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°。
所以 ΔABD ≌ ΔACD（SAS），
因此 BD = CD。
所以 D 是边 BC 的中点，故 AD 是 ∠BAC 的平分线。

模型三：连接两个邻边交点到顶点的线段

如果一个角的两个邻边相交，并且将此交点与顶点连接，那么此连线就是角的平分线。

例题： 已知 ΔABC 中，边 BC 与边 AC 相交于点 P，且 PA = PB，求证：PA 是 ∠BAC 的平分线。

证明： 设 ∠ABC = x，则 ∠ACB = 180° - x。
因为 PA = PB，所以 ∠PAB = ∠PBA = (180° - x) / 2。
所以 ΔPAB ≌ ΔPBA（SAS），
因此 AP = BP。
所以 P 是边 AB 的中点，故 PA 是 ∠BAC 的平分线。

模型四：角平分线定理

角平分线定理：在三角形中，角平分线把对边分成与相邻两边成正比的两段。

例题： 已知 ΔABC 中，角平分线 AD 将边 BC 分成 BD 和 DC，且 BD : DC = 3 : 2，求证：AB : AC = 3 : 2。

证明： 根据角平分线定理，BD : DC = AB : AC。
所以 BD : DC = 3 : 2 = AB : AC。
因此 AB : AC = 3 : 2。

模型五：过一点且与两直线成相等夹角的直线

如果两条直线相交，过一点且与这两条直线成相等夹角的直线就是该角的平分线。

例题： 已知两条直线 l 和 m 相交于点 O，过点 A 且分别与直线 l 和 m 成 60° 角的直线是 l3，求证：l3 是 ∠lOm 的平分线。

证明： 设 ∠lOm = x，则 ∠l3Om = ∠m3Om = 60°。
所以 ∠l3Om + ∠m3Om = 120°。
所以 ∠lOm = 180° - 120° = 60°。
所以 l3 是 ∠lOm 的平分线。

模型六：利用坐标几何

利用坐标几何，也可以确定角的平分线。角平分线的方程为：

y = (-cot(α/2))x + c

其中，α 为角的度数，c 为常数。

例题： 已知角的顶点为 (0, 0)，一条边在 x 轴上，另一条边与 x 轴成 45° 角，求角的平分线方程。

解： α = 45°，所以 cot(α/2) = cot(22.5°) = √2。
因为角平分线经过顶点，所以 c = 0。
所以角平分线方程为 y = -√2x。以上便是角平分线的六大模型，通过学习这些模型，可以帮助读者更好地解决相关几何问题。

2025-01-20

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