平行线十大模型例题解析344

1. 直线与直线平行（轴平行与轴平行）

例题：已知直线y = 2x + 3，求与该直线平行且过点（1，0）的直线方程。

解法：平行直线与原直线斜率相同，为2。代入斜截式方程得到：y = 2x + b。代入过点（1，0）得b = -2。因此，与给定直线平行且过点（1，0）的直线方程为：y = 2x - 2。

2. 直线与直线平行（轴平行与非轴平行）

例题：已知直线y = 2x + 3，求与该直线平行且过点（2，5）的直线方程。

解法：平行直线与原直线斜率相同，为2。直线过点（2，5）且斜率为2，则直线方程为：y - 5 = 2(x - 2)，化简得：y = 2x + 1。

3. 直线与直线平行（非轴平行与轴平行）

例题：已知直线y = 3，求与该直线平行且过点（1，2）的直线方程。

解法：平行直线与原直线斜率相同，斜率为0。直线过点（1，2）且斜率为0，则直线方程为：y = 2。

4. 直线与直线平行（非轴平行与非轴平行）

例题：已知直线y = 2x + 3，求与该直线平行且过点（2，-1）的直线方程。

解法：平行直线与原直线斜率相同，斜率为2。直线过点（2，-1）且斜率为2，则直线方程为：y + 1 = 2(x - 2)，化简得：y = 2x - 3。

5. 平面内两直线平行

例题：已知直线l1：x + y - 1 = 0，直线l2：2x - y + 3 = 0，判断两直线是否平行。

解法：平行直线斜率相等。直线l1斜率为-1，直线l2斜率为2。因此，两直线不平行。

6. 平面内两直线垂直

例题：已知直线l1：x + y - 1 = 0，直线l2：2x - y + 3 = 0，判断两直线是否垂直。

解法：垂直直线斜率互为负倒数。直线l1斜率为-1，直线l2斜率为2。因此，两直线斜率互为负倒数，所以两直线垂直。

7. 点到直线的距离

例题：点（1，2）到直线y = 2x + 1的距离是多少？

解法：点到直线的距离公式：d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)，其中A、B、C为直线方程系数。代入数据得到：d = |2(1) - 2(2) + 1| / √(2^2 + (-2)^2) = 1 / 2。

8. 两条直线之间的距离

例题：求直线y = 2x + 1和y = -x + 3之间的距离。

解法：两条直线之间的距离公式：d = |a1a2 + b1b2 + c1c2| / √(a1^2 + b1^2)(a2^2 + b2^2)，其中a、b、c为直线方程系数。代入数据得到：d = |2(-1) + 1(-1) + 1(3)| / √(2^2 + 1^2)(-1^2 + 1^2) = 4 / √10。

9. 点在线段上的投影

例题：点（1，3）在线段AB上的投影是点P，已知A（2，1），B（4，5），求点P的坐标。

解法：设点P的坐标为（x，y）。根据点到直线的距离公式，得：
|2x + y - 5| / √(2^2 + 1^2) = |x - 3| / √(1^2 + 0^2)
将两式相等，并联立直线AB方程y = x + 1，解得：x = 3，y = 4。因此，点P的坐标为（3，4）。

10. 直线与圆的交点

例题：求直线y = x + 1和圆x^2 + y^2 = 4的交点。

解法：将直线方程代入圆方程，得：
x^2 + (x + 1)^2 = 4
化简得：2x^2 + 2x - 3 = 0
解得：x1 = 1，x2 = -3/2
代回直线方程得到：y1 = 2，y2 = -5/2
因此，直线与圆的交点为（1，2）和（-3/2，-5/2）。

2025-01-20

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