考研数学四大模型题目详解68

在考研数学中，模型题目是经常出现的题型。模型题目通常以实际生活中的问题为背景，通过建立数学模型来解决问题。解决模型题目需要综合应用数学知识、逻辑思维和空间想象力。以下是考研数学中常见的四大模型题目类型及其解题方法。

一、最值问题模型

题目特点：求函数在一定条件下的最大值或最小值。
解题方法：
1. 求函数的导数。
2. 求导数的零点（极值点）。
3. 判断极值类型（最大值或最小值）。
4. 代入极值点求函数值。

例题：

已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a>0)\)，求当\(x∈[0,1]\)时，\(f(x)\)的最小值。

解：

1. 求导：\(f'(x)=2ax+b\)。
2. 求零点：\(2ax+b=0\),解得\(x=-\frac{b}{2a}\)。
3. 判断极值类型：由于\(a>0\)，导数\(f'(x)\)在\(x\)减小时减大，在\(x\)增大时增大，因此\(x=-\frac{b}{2a}\)为函数在\(x∈[0,1]\)时的最小值点。
4. 代入最小值点：\(f\left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}-b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=\frac{-b^2}{4a}\)。

因此，当\(x∈[0,1]\)时，\(f(x)\)的最小值为\(\frac{-b^2}{4a}\)。

二、规划问题模型

题目特点：对一定资源进行合理分配，以实现某个目标的最优值。
解题方法：
1. 确定目标函数和约束条件。
2. 建立数学模型。
3. 求解数学模型。

例题：

某工厂生产两种产品A和B，每件产品A的利润为10元，每件产品B的利润为15元。工厂每天生产产品A和B最多不超过100件，且每天用于生产产品A和B的工作时间分别不超过40小时和50小时。每件产品A需要1小时的工作时间，每件产品B需要2小时的工作时间。求工厂每天应生产多少件产品A和B，才能使利润最大化。

解：

1. 目标函数：\(Z=10x+15y\)，其中\(x\)为每天生产的产品A件数，\(y\)为每天生产的产品B件数。
2. 约束条件：
- \(x+y≤100\)（每天生产产品不超过100件）
- \(x≤40\)（用于生产产品A的工作时间不超过40小时）
- \(2y≤50\)（用于生产产品B的工作时间不超过50小时）
- \(x,y≥0\)（件数非负）
3. 建立线性规划模型：
- 目标函数：\(Z=10x+15y\)
- 约束条件：
- \(x+y≤100\)
- \(x≤40\)
- \(2y≤50\)
- \(x,y≥0\)
4. 求解线性规划模型，得到最优解：\(x=40,y=30\)。

因此，工厂每天应生产40件产品A和30件产品B，才能使利润最大化。

三、概率论与数理统计模型

题目特点：利用概率论和数理统计知识解决实际问题。
解题方法：
1. 找出随机变量和概率分布。
2. 根据相关公式进行计算。

例题：

某工厂生产的灯泡，其寿命服从正态分布，平均数为500小时，标准差为50小时。求该工厂生产的灯泡寿命在450到550小时之间的概率。

解：

1. 随机变量：灯泡寿命
2. 概率分布：正态分布\(N(500,50^2)\)
3. 计算概率：
- 标准化：\(P(450

2025-01-19

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