高考数学十大巧解题模型125

一、用反证法巧妙解题

反证法即假设命题的否定，再通过一系列逻辑推理，导出矛盾，从而证明原命题成立。

例题：

证明：对于任意正数x和y，有 (x+y)/2 ≥ √xy

反证：

假设结论不成立，即存在正数x和y，使得 (x+y)/2 < √xy。那么，根据平方得正，我们有 (x+y)²/4 < xy，即 x² +2xy + y² < 4xy，进一步整理，得到 x² +y² < 2xy，即 (x-y)² < 0。但 (x-y)² ≥ 0，矛盾！因此，原假设不成立，即结论成立。

二、转化思想巧解难题

转化思想是指将题目中的复杂问题转化为简单的问题，从而降低解题难度。

例题：

已知平面直角坐标系中，点P（a，b）到原点的距离为√5，到x轴的距离为2，求a和b的值。

转化：

由点到x轴的距离公式可知，|b| = 2。注意到点P到原点的距离为√5，因此，a² + b² = 5。将|b| = 2代入，可得 a² + 4 = 5，解得 a = ±1。

三、特殊值带入法巧解应用题

特殊值带入法是指将题目中的特殊值（如0或1）代入未知数，以获得关于未知数的等式或不等式，从而解出未知数。

例题：

已知函数 f(x) = 2x - x²，求当x > 0时，f(x) 的最小值。

特殊值带入：

令 x = 1，则 f(1) = 2(1) - 1² = 1。因此，当x > 0时，f(x) 的最小值为1。

四、配方法巧解二次函数

配方法是指将二次函数化为 (x-a)²+b 或 a(x-b)²+c 的形式，从而求出函数的顶点坐标和对称轴。

例题：

求函数 f(x) = x² - 4x + 5 的顶点坐标。

配方法：

f(x) = x² - 4x + 5 = x² - 4x + 4 + 1 = (x-2)²+1
因此，顶点坐标为 (2，1)。

五、因式分解法巧解整式题

因式分解法是指将整式分解为因数的乘积，从而化简整式或求解方程。

例题：

化简整式：x³ - 8

因式分解：

x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4)

六、数形结合法巧解几何题

数形结合法是指将几何图形转化为代数式或方程，利用代数方法求解几何问题。

例题：

在△ABC中，三边长分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，求△ABC的面积。

数形结合：

由海伦公式，△ABC的面积 S = √p(p-a)(p-b)(p-c)，其中 p = (a+b+c)/2 = 6。代入已知数据，得到 S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = √6。

七、排列组合巧解计数题

排列组合是研究如何从给定的对象中选择一定数量的不同对象的学问，在计数题中应用广泛。

例题：

从5个人中选出3个人组成一个小组，共有多少种不同的选法？

排列组合：

根据排列组合公式，从5个人中选出3个人有 C₅₃ = 5!/(5-3)!3! = 10 种不同的选法。

八、不等式组建模巧解最值问题

不等式组建模法是指利用不等式组来建立模型，从而求解最值问题。

例题：

已知函数 f(x) = x² - 4x + 5，求 f(x) 的最小值。

不等式组建模：

由于 f(x) 是开口向上的抛物线，因此，它的最小值出现在顶点处。设顶点坐标为 (x₀，y₀)，则有 f(x) = (x-x₀)²+y₀。由于 f(x) ≥ y₀，因此，y₀为 f(x) 的最小值。由配方法，可得 y₀ = f(x₀) = 1。因此，f(x) 的最小值为1。

九、微积分思想巧解最值问题

微积分是研究函数的极限、导数和积分的学问，在求解最值问题时有着广泛的应用。

例题：

已知函数 f(x) = x² - 4x + 5，求 f(x) 的极大值和极小值。

微积分思想：

f(x) 的极值出现在 f'(x) = 0 的点处。求导得 f'(x) = 2x - 4 = 0，解得 x = 2。代入 f(x)，得到极值 f(2) = 1。因此，f(x) 的极大值为1，极小值为1。

十、归纳法巧解数列问题

归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，在数列问题中有着广泛的应用。

例题：

证明：当n为正整数时，1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

归纳法：

n = 1 时，显然成立。假设当n = k 时，成立，即 1² + 2² + 3² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6。当n = k+1 时，有 1² + 2² + 3² + ... + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²。整理得 (k+1)(k+2)(2k+3)/6。因此，当n = k+1 时，也成立。综上所述，当n为正整数时，结论成立。

2025-01-17

---

上一篇：家具温馨提示：打造舒适居家的贴心指南

下一篇：展现中国文化魅力：钟表戏剧的图片赏析