线性规划模型的三大要素59

线性规划（LP）是一种数学建模技术，用于解决具有线性目标函数和线性约束的优化问题。LP模型包含三个基本要素：决策变量、目标函数和约束。

决策变量

决策变量是模型中可以由决策者控制的值。这些变量代表决策者在解决问题时可以自由调整的因素。在LP模型中，决策变量通常表示要生产的产品数量、分配的资源或采取的行动的数量或水平。例如，在一个生产计划模型中，决策变量可能是不同产品的生产量。

目标函数

目标函数是模型中要优化（最大化或最小化）的表达式。它表示决策者想要通过模型实现的目标。目标函数通常是决策变量的线性函数，例如利润、成本或服务水平。在生产计划模型中，目标函数可能是利润最大化。

约束

约束是模型中限制决策变量取值的条件。它们表示问题中的限制或资源可用性。约束通常是决策变量的线性不等式或等式。例如，在生产计划模型中，约束可能是产品需求、生产能力或原材料可用性。

约束类型

* 等式约束：表示决策变量之间的相等关系，例如 x + y = 10。
* 不等式约束：表示决策变量之间的不等关系，例如 x ≤ 5。
* 非负性约束：限制决策变量为非负值，例如 x ≥ 0。

标准形式

LP模型的标准形式如下所示：```
最大化/最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ
约束：
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ ≤ bₘ
x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0
```
其中：
* z 是目标函数值
* x₁, x₂, ..., xₙ 是决策变量
* c₁, c₂, ..., cₙ 是目标函数系数
* a₁,₁, a₁₂, ..., a₁ₙ 是第一个约束的系数
* a₂,₁, a₂₂, ..., a₂ₙ 是第二个约束的系数
* ...
* aₘ₁, aₘ₂, ..., aₘₙ 是第 m 个约束的系数
* b₁, b₂, ..., bₘ 是约束右侧的常数