初中十大对角互补模型题269

1. 正方形的性质

对角线互相垂直且平分对方，相交于正方形的中心，且对角线的长度等于正方形的边长。

例题：

正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O。已知 OC = 5 cm，求正方形 ABCD 的周长。

解：

因为对角线互相平分对方，所以 OC = OA = 5 cm。

因此，正方形 ABCD 的边长为 2 × 5 = 10 cm。

周长 = 4 × 10 = 40 cm。

2. 平行四边形的性质

对角线互相平分，且交点为平行四边形的中心。

例题：

平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O。已知 AB = 12 cm，BC = 8 cm，求平行四边形 ABCD 的面积。

解：

因为对角线互相平分，所以 AB = CD = 12 cm，BC = AD = 8 cm。

面积 = (AB + CD) × (BC + AD) / 2 = (12 + 12) × (8 + 8) / 2 = 24 × 16 = 384 cm²。

3. 菱形的性质

对角线垂直且平分对方，交点为菱形的中心。

例题：

菱形 EFGH 的对角线 EF 和 GH 相交于点 O。已知 FO = 4 cm，OE = 5 cm，求菱形 EFGH 的面积。

解：

因为对角线垂直且平分对方，所以 EO = FO = 4 cm，GO = HO = 5 cm。

面积 = (EO + FO) × (GO + HO) / 2 = (4 + 4) × (5 + 5) / 2 = 8 × 10 = 80 cm²。

4. 矩形的性质

对角线相等且互相平分，且相交于矩形的中心。

例题：

矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O。已知 AC = 10 cm，求对角线 BD 的长度。

解：

因为对角线相等，所以 BD = AC = 10 cm。

5. 风筝的性质

对角线互相垂直，交点为风筝的对称中心，且其中一条对角线平分另一条对角线。

例题：

风筝 EFGH 的对角线 EG 和 FH 相交于点 O。已知 EG = 10 cm，FH = 8 cm，求风筝 EFGH 的面积。

解：

因为对角线互相垂直，所以 EO = GO = 5 cm，FO = HO = 4 cm。

面积 = (EO + FO) × (GO + HO) / 2 = (5 + 4) × (5 + 4) / 2 = 9 × 9 = 81 cm²。

6. 三角形的性质

三角形的对角线平分对方的边，交点为三角形的质心。

例题：

三角形 ABC 的对角线 AD 平分边 BC。已知 BC = 10 cm，求 AD 的长度。

解：

因为对角线平分对方的边，所以 BD = DC = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm。

因此，AD = BD + DC = 5 + 5 = 10 cm。

7. 等腰三角形的性质

等腰三角形的底边角平分线也是三角形的高线、中线和对角线，且平分另外两个底角。

例题：

等腰三角形 ABC 的底边 AC，底边角平分线 BD 与 AC 相交于点 D。已知 AC = 10 cm，求 BD 的长度。

解：

因为底边角平分线也是中线，所以 BD = AD = DC = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm。

8. 直角三角形的性质

直角三角形斜边的中线也是三角形的高线、角平分线和对角线，且等于斜边的一半。

例题：

直角三角形 ABC 的直角在 C，斜边的中线 CD 平分∠ACB。已知 AC = 6 cm，求 CD 的长度。

解：

因为斜边的中线也是角平分线，所以 ∠ACD = ∠DCB = ∠ACB / 2。

又因为 ∠ACB = 90°，所以 ∠ACD = ∠DCB = 45°。

因此，CD = AC / 2 = 6 / 2 = 3 cm。

9. 梯形的性质

梯形的对角线互相交于一点，交点将其中一条对角线分成相等的两部分。

例题：

梯形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O。已知 OA = OB = 2 cm，OC = 4 cm，求梯形 ABCD 的面积。

解：

因为对角线将其中一条对角线分成相等的两部分，所以 OD = DC = 2 cm。

面积 = (AB + CD) × (AD + BC) / 2 = (2 + 2) × (OA + OD) / 2 = (4) × (2 + 2) / 2 = 8 cm²。

10. 六边形的性质

正六边形的三条对角线互相垂直，交于一点，交点为正六边形的中心，且其中一条对角线平分另外两条对角线。

例题：

正六边形 ABCDEF 的对角线 AD、BE 和 CF 相交于点 O。已知 AD = 10 cm，求对角线 BE 的长度。

解：

因为对角线 AD 平分另外两条对角线，所以 BO = OE = DO = AD / 2 = 10 / 2 = 5 cm。

因此，BE = 2 × BO = 2 × 5 = 10 cm。

2025-01-15

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