几何五大模型的先后顺序264

几何学中，五大模型按其历史发展顺序依次为：欧氏几何、非欧几何、射影几何、仿射几何和拓扑几何。

1. 欧氏几何

欧氏几何是最古老的几何模型，由公元前 3 世纪的古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出。欧氏几何基于以下五个公理：* 一条直线可以连接任何两点。
* 任何线段都可以无限延伸成一条直线。
* 对于任何一条直线和一点，都存在唯一一条与该直线相交并且经过该点的直线。
* 所有直角都相等。
* 如果两条直线与第三条直线相交，并且同侧内角和小于两个直角，那么这两条直线将在同侧相交。

2. 非欧几何

非欧几何是在 19 世纪初提出的，它挑战了欧氏几何的第五公理。有两种主要的非欧几何：双曲几何和椭圆几何。* 双曲几何：在双曲几何中，第五公理被替换为：通过一点，可以画出无数条与既定直线不相交的直线。
* 椭圆几何：在椭圆几何中，第五公理被替换为：任何两条不相交的直线都可以在一个平面内延长成一条圆弧。

3. 射影几何

射影几何是在 17 世纪末由法国数学家德萨格提出。射影几何研究几何对象的投影和截面，它不关心距离和角度。

射影几何的基本概念包括：点、直线、平面和其他几何对象。射影几何中的公理描述了这些对象之间的关系，例如：* 两条不同的直线相交于一点。
* 三个不同的点共线。
* 任何平面都可以投影到另一平面。

4. 仿射几何

仿射几何是在 19 世纪初提出的，它介于欧氏几何和射影几何之间。仿射几何保留了欧氏几何的距离和角度概念，但去除了平行的概念。

仿射几何的基本公理包括：* 两个点之间的距离是一个常数。
* 两个线段的比等于它们各自长度的比。
* 两个角的和等于它们各自度数的和。

5. 拓扑几何

拓扑几何是在 19 世纪末提出的，它是五大几何模型中最抽象的。拓扑几何研究几何对象的连续性、邻近性和联通性，而不管它们的大小、形状或距离。

拓扑几何的基本概念包括：开集、闭集、连通集和其他拓扑性质。拓扑几何中的公理描述了这些性质之间的关系，例如：* 两个开集的并集也是开集。
* 两个闭集的交集也是闭集。
* 任何连通集都可以分成两个不相交的开集。

2025-01-14

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